Вынужденные электромагнитные колебания

(переменный ток)

EMKolebania PeremennyiTok

\matrix{{\cal E}={\cal E} _{0}\sin\left(\omega t\right)\\ I=I_{0}\sin\left(\omega t-\varphi\right)}

\varphi –разность фаз между током и напряжением

1) Активное сопротивление R в цепи переменного тока

EMKolebania AktivnoeSoprotivlenie

{\cal E}={\cal E} _{0}\sin\left(\omega t\right)
I=\frac{U}{R}=\frac{{\cal E} _{0}\sin\left(\omega t\right)}{R}
I=\frac{{\cal E} _{0}}{R}\sin\left(\omega t\right)
\varphi=0
I_{0}=\frac{{\cal E} _{0}}{R}

Ток совпадает по фазе с {\cal E}.

2) Ёмкость в цепи переменного тока

EMKolebania Emkost

{\cal E}={\cal E} _{0}\sin\left(\omega t\right)
q=CU=C{\cal E} _{0}\sin\left(\omega t\right)
I=q^{'}_{t}=C{\cal E} _{0}\omega\sin\left(\omega t\right)
I=C{\cal E} _{0}\omega\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)

На ёмкости (конденсаторе) ток опережает напряжение на четверть периода:

EMKolebania EmkostFazyTokaINapryjenia

Ёмкостное сопротивление:

X_{C}=\frac{1}{\omega C}
I=\frac{{\cal E} _{0}}{X_{C}}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)\text{, где }\frac{{\cal E} _{0}}{X_{C}}=I_{0}

3) Индуктивность (катушка) в цепи переменного тока.

EMKolebania Indyktivnost

{\cal E}={\cal E} _{0}\sin\left(\omega t\right)
{\cal E}+{\cal E} _{Si}=IR=O\Rightarrow R=0
{\cal E}-L\frac{dI}{dt}=0
{\cal E} _{0}\sin\left(\omega t\right)=L\frac{dI}{dt}
\frac{{\cal E} _{0}}{L}\sin\left(\omega t\right)=\frac{dI}{dt}
\frac{{\cal E} _{0}}{L}\sin\left(\omega t\right)dt=dI
I=\int\frac{{\cal E} _{0}}{L}\underbrace{\sin\left(\omega t\right)}_{-\frac{\cos\left(\omega t\right)}{\omega}}dt=\frac{{\cal E} _{0}}{L}\int\sin\left(\omega t\right)dt=-\frac{{\cal E} _{0}}{L\omega}\cos\left(\omega t\right)=-\frac{{\cal E} _{0}}{L\omega}\sin\left(\frac{\pi}{2}-\omega t\right)=\frac{{\cal E} _{0}}{L\omega}\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)
I=\frac{{\cal E} _{0}}{L\omega}\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)

На индуктивности ток отстает от напряжения на четверть периода

EMKolebania IndyktivnostFazyTokaINapryjenia

Индуктивное сопротивление:

X_{L}=L\omega

4) Закон Ома для переменного тока

EMKolebania ZakonOma

I_{0}=\frac{{\cal E} _{0}}{\sqrt{R^{2}+{\left(X_{L}-X_{C}\right)}^{2}}}
P_{ср}=\frac{I^{2}_{0}R}{2}

5) Действующие (эффективные) значения силы тока и напряжения

Действующее значение – это такое значение постоянного тока, которое приводит к выделению в цепи такой же средней мощности, как соответствующее значение переменного тока с данной амплитудой.

I_{эфф}=I_{действ}=\frac{I_{0}}{\sqrt{2}}
P_{ср}=I^{2}_{эфф}R
U_{эфф}=U_{действ}=\frac{U_{0}}{\sqrt{2}}

 

Резонанс

 

Определение. Резкое возрастание амплитуды тока при совпадении частоты внешней ℰ с собственной частотой колебательного контура (т. е. частотой свободных колебаний) называется резонансом.

EMKolebania Rezonans

I_{0}=\frac{U_{0}}{\sqrt{R^{2}+{\left(X_{L}-X_{C}\right)}^{2}}}

Полное сопротивление цепи:

Z=\sqrt{R^{2}+{\left(X_{L}-X_{C}\right)}^{2}}

I_{0} максимален, если Z min.

Z min, если \left(X_{L}-X_{C}\right)=0.

X_{L}=X_{C}
\omega L=\frac{1}{\omega C}
\omega ^{2}=\frac{1}{LC}
\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\omega _{0}

Формула Томсона:

T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{LC}