Колебания груза на пружине

 

Пусть удлинение пружины x, а ее жесткость k. Тогда на нее будет действовать сила упругости, направленная противоположно растяжению.

MechKolebania GryzNaPryjine

ma=-kx
a=-\frac{k}{m}x
a=-\omega ^{2}x
\omega ^{2}=\frac{k}{m}

 

\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}
T=\frac{2\pi}{\omega}
T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

 

Зависимость формы уравнения для координаты от начальных условий (Метода возбуждения колебаний)

 

1. Груз отклонили от положения равновесия и отпустили без начальной скорости

x=A\sin\left(\omega t+\alpha\right)
t=0;   x=A
x=A\sin\left(\alpha\right)\text{, так как }\omega t=0
\sin\left(\alpha\right)=1\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{2}
x=A\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)
x=A\cos\left(\omega t\right)
v=-A\omega\sin\left(\omega t\right)

2. Грузу в положении равновесия сообщили начальную скорость v_{0}.

v=A\omega\cos\left(\omega t+\alpha\right)
t=0;   v_{0}=v_{0}\cos\alpha
\cos\varphi=1;   A\omega=v_{0}
\alpha=0;   A=\frac{v_{0}}{\omega}
v=A\omega\cos\left(\omega t\right)

 

x=\frac{v_{0}}{\omega}\sin\left(\omega t\right)

 

Превращение энергии при гармонических колебаниях груза на пружине.

 

E_{полн.}=E_{к}+E_{п}

Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной.

E_{к}=\frac{mv^{2}}{2}=\frac{mA^{2}\omega ^{2}}{2}\cos ^{2}\left(\omega t+\alpha\right)
\omega ^{2}=\frac{k}{m}
E_{к}=\frac{mv^{2}}{2}=\frac{mA^{2}}{2}\frac{k}{m}\cos ^{2}\left(\omega t+\alpha\right)
E_{к}=\frac{kA^{2}}{2}\cos ^{2}\left(\omega t+\alpha\right)

 

E_{п}=\frac{kx^{2}}{2}=\frac{k}{2}A^{2}\sin ^{2}\left(\omega t+\alpha\right)
E_{полн}=\frac{kA^{2}}{2}\underbrace{\left(\sin ^{2}\left(\omega t+\alpha\right)+\cos ^{2}\left(\omega t+\alpha\right)\right)}_{=1}=\frac{kA^{2}}{2}
E_{полн}=\frac{kA^{2}}{2}