Изменение координаты

 

В природе существует множество типов колебаний. Мы будем рассматривать малые колебания тела вблизи положения равновесия.

Гармонические колебания – колебания, при которых координата изменяется по закону синуса или косинуса

x=A\sin\left(\omega t+\alpha\right)

x – координата;

A – амплитуда;

\omega t+\alpha – фаза;

\alpha – начальная фаза;

\omega=2\pi\nu – циклическая (круговая) частота;

\nu – частота;

T=\frac{1}{\nu} – период.

 

Кинематика гармонических колебаний

 

x=A\sin\left(\omega t+\alpha\right)
v=x^{'}_{t}=A\omega\cos\left(\omega t+\alpha\right)
v=A\omega\cos\left(\omega t+\alpha\right)

Амплитуда скорости:

v_{0}=A\omega
v=A\omega\sin\alpha\left(\omega t+\alpha+\frac{\pi}{2}\right)
a=v_{t}=-A\omega ^{2}\sin\left(\omega t+\alpha\right)
a=-A\omega ^{2}\sin\left(\omega t+\alpha\right)
a=-A\omega ^{2}\sin\left(\omega t+\alpha\right), где A\sin\left(\omega t+\alpha\right)=x\Rightarrow
a=-\omega ^{2}x

 

Динамика гармонических колебаний

 

Для того, чтобы колебания были гармоническими, необходимо, чтобы сила, возвращающая тело к положению равновесия была пропорциональна координате:

F=-cx
c=const
F=ma\Rightarrow ma=-cx
\cases{a=-\frac{c}{m}x\cr a=-\omega ^{2}x}
\omega ^{2}=\frac{c}{m}

 

\omega ^{2}=\sqrt{\frac{c}{m}}
T=\frac{2\pi}{\omega}
T=2\pi \sqrt{\frac{m}{c}}