Теорема Гаусса

 

a) Поток вектора напряженности

Определение 1: Нормаль – это единичный вектор, перпендикулярный данной поверхности.

Нормаль

Определение 2: Поток вектора напряженности через малый элемент некоторой поверхности равен произведению площади S этого элемента на модуль вектора напряженности \vec{E}и косинус угла между вектором напряженности и нормалью к поверхности \vec{n}:

\Delta \Phi _{E}=ES\cos \alpha

Или скалярному произведению векторов \vec{E} и \vec{S}. За направление вектора \vec{S} принимают направление нормали к элементарной площадке S:

Поток вектора

Определение 3: Скалярное произведение есть произведение модулей векторов на косинус угла между ними. То есть:

\vec{E}\cdot d\vec{S}=\left(\vec{E}\vec{S}\right)=ES\cos \alpha

Тогда поток через всю поверхность равен сумме потоков через все малые элементы этой поверхности или точнее интегралу:

\Phi _{E}=\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}

b) Теорема Гаусса

Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность равен суммарному заряду внутри этой поверхности, деленному на электрическую постоянную \varepsilon _{)}:

\Phi _{E}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}

Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости

Напряженность на плоскости

Пусть плоскость пронизывает воображаемый цилиндр с площадью основания S. Тогда поток через его боковые стороны равен нулю. А поток через основания \Phi=E\cdot 2S. Пусть q – заряд внутри цилиндра. Тогда по теореме Гаусса: \Phi=\frac{q}{\varepsilon_{0}}, т.е.:

E\cdot 2S=\frac{q}{\varepsilon_{0}}
E=\frac{q}{2S\varepsilon_{0}}

Пусть \sigma=\frac{q}{S} – поверхностная плотность заряда, тогда:

E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\text{ - поле плоскости}