Динамика движения по окружности

движение по окружности

\cases{OX:F_{1x}+F_{2x}+\cdots+F_{nx}=ma_{ц.с.}=m\omega\upsilon=m\omega^{2}R=\frac{m\upsilon^{2}}{R}\\OY:F_{1y}+F_{2y}+\cdots+F_{ny}=ma_{y}=ma_{k}=ma\tau=0\\OZ:F_{1z}+F_{2z}+\cdots+F_{nz}=ma_{z}=0}

a_{k}=a_{\tau} – касательное ускорение (тангенциальное).

1. Закон всемирного тяготения.

Закон всемирного тяготения

F_{T}=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}

G – постоянная всемирного тяготения (гравитационная постоянная)

G=6,67\cdot 10^{-11}\frac{H\cdot м^{2}}{кг^{2}}

Два тела (материальные точки) притягиваются с силой прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

2. Центр масс.

Центр масс

m_{1}>m_{2}\Rightarrow R_{2}<R_{1}

R_{1}=\frac{Rm_{2}}{m_{1}+m_{2}}

R_{2}=\frac{Rm_{1}}{m_{1}+m_{2}}

3. Зависимость ускорения свободного падения от высоты.

Зависимость ускорения свободного падения от высоты

F_{T}=G\frac{mM}{{(R+h)}^{2}}=mg_{h}\Leftrightarrow G\frac{M}{{(R+h)}^{2}}=g_{h}

g_{h} – ускорение свободного падения на высоте h

g_{h}=\frac{GM}{{(R+h)}^{2}}

На поверхности планеты h=0

g=\frac{GM}{{R}^{2}}

GM=gR^{2}

Для Земли:

R_{з}=6400км

M_{з}=6\cdot 10^{24}кг

g_{h}=\frac{gR^{2}}{{(R+h)}^{2}}

g_{h}=g{\bigg (\frac{R}{R+h}\bigg)}^{2}

4. Движение спутников. Первая космическая скорость.

Движение спутников

OX:F_{T}=ma_{ц.с.}

G\frac{mM}{{(R+h)}^{2}}=\frac{m{\upsilon}^{2}}{(R+h)}\Leftrightarrow G\frac{M}{{(R+h)}^{2}}=\frac{{\upsilon}^{2}}{(R+h)}\Leftrightarrow G\frac{M}{(R+h)}=\frac{{\upsilon}^{2}}{1}

Cкорость спутника, двигающегося вокруг планеты массой M на высоте h (по круговой орбите):

\upsilon=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}

Первая космическая скорость – скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно вращалось по круговой орбите вблизи поверхности планеты (h=0).

\upsilon_{1}=\sqrt{\frac{GM}{R}}

Для Земли:

\upsilon_{1}=7,9\frac{км}{c}

Через ускорение свободного падения:

F_{T}=mg_{h}=ma_{ц.с.}\Leftrightarrow g_{h}=a_{ц.с.}

g_{h}=\frac{\upsilon^{2}}{R+h}

\upsilon=\sqrt{g_{h}(R+h)}

Первая космическая скорость –

\upsilon_{1}=\sqrt{gR}