Равноускоренное движение

 

Ускорение

 

Равноускоренное движение – движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.

Ускорение:

\vec{a}=\frac{\vec{V}-\vec{V_{0}}}{t}

При равноускоренном движении: \vec{a}=const.

\vec{a}\cdot t=\vec{V}-\vec{V_{0}}
\vec{V}=\vec{V_{0}}+\vec{a}\cdot t
\cases{\vec{V_{x}}=\vec{V_{0x}}+\vec{a_{x}}\cdot t\cr\vec{V_{y}}=\vec{V_{0y}}+\vec{a_{y}}\cdot t\cr\vec{V_{z}}=\vec{V_{0z}}+\vec{a_{z}}\cdot t}
\left(V_{x}\right)'_{t}=a_{x}; \left(V_{y}\right)'_{t}=a_{y}\left(V_{z}\right)'_{t}=a_{z}
V_{x}=10+5t
V'_{x}=5

Проекция ускорения на данную ось равна производной соответствующей проекции скорости.

 

График зависимости проекции ускорения от времени

Зависимоть ускорения от времени

График зависимости проекции скорости от времени

Зависимоть проекции скорости от времени

tg \beta=\frac{V_{x}-V_{0x}}{t}=a_{x}

 

Зависимость координаты от времени

Зависимость скорости от времени:

V_{x}=V_{0x}+a_{x}\cdot t

V_{x}=x'_{t} – проекция скорости равна производной соответствующей координаты по времени.

Тогда:

x=\int\left(V_{0x}+a_{x}t\right)dt=V_{0x}t+\frac{a_{x}t^{2}}{2}+\underbrace{const}_{x_{0}}

Найти первообразную – это построить такую функцию, производная которой равна функции, стоящей под знаком интеграла.

\left(V_{0x}t\right)'=V_{0x}
\left(\frac{a_{x}t^{2}}{2}\right)'=\frac{2a_{x}t}{2}=a_{x}t

Например:

\int 3xdx=\frac{3x^{2}}{2}

\left(\frac{3x^{2}}{2}\right)'=\frac{3\cdot 2x}{2}=3x

\cases{x=x_{0}+V_{0x} \cdot t+\frac{a_{x}t^{2}}{2}\cr y=y_{0}+V_{0y} \cdot t+\frac{a_{y}t^{2}}{2}\cr z=z_{0}+V_{0z} \cdot t+\frac{a_{z}t^{2}}{2}}

Зависимость координаты от времени

tg \alpha=V_{x}\left(t_{1}\right)

Тангенс угла наклона касательной к графику равен производной в данной точке x'_{t}=V_{x}.

 

Путь и площадь под графиком

Площадь под графиком скорости численно равна пути:

Путь и площадь под графиком

S=\frac{1}{2}\left(V_{0x}+V_{x}\right)\cdot t – площадь трапеции – полусумма оснований на высоту.

V_{x}=V_{0x}+a_{x}t
S=\frac{1}{2}\left(V_{0x}+V_{0x}+a_{x}t\right)\cdot t=\frac{1}{2}\left(2V_{0x}t+a_{x}t^{2}\right)=V_{0x}t+\frac{a_{x}t^{2}}{2}
S=x-x_{0}=V_{0x}t+\frac{a_{x}t^{2}}{2}
x=x_{0}+V_{0x}t+\frac{a_{x}t^{2}}{2}

V_{ср}=\frac{S}{t} – средняя скорость.

V_{ср}=\frac{V_{0x}+V_{x}}{2} – верно только для равноускоренного движения.

a_{x}=\frac{V_{x}-V_{0x}}{t}
t=\frac{V_{x}-V_{0x}}{a_{x}}
S=\frac{1}{2}\left(V_{0x}+V_{x}\right)\frac{V_{x}-V_{0x}}{a_{x}}
S=\frac{V_{x}^{2}-V_{0x}^{2}}{2a_{x}}

Если тело движется вдоль оси Х, формула упрощается:

V_{x}=V
V_{0x}=V_{0}
a_{x}=a
S=\frac{V^{2}-V_{0}^{2}}{2a}